## Coloquio — preguntas (7 de mayo de 2013) 1. Definir función de $A$ en $B$, conjunto imagen y gráfica de una función. 2. Definir función inyectiva. 3. Probar que una función lineal con pendiente negativa es decreciente. 4. Probar que la suma de dos funciones crecientes en su dominio es creciente en su dominio. 5. Probar que la suma de dos funciones impares es una función impar. 6. Si la dosificación recomendada para un adulto de una droga es $D$ (en mg), entonces para establecer la dosis apropiada $c$ para un infante de edad $a$, el químico farmacéutico utiliza la ecuación $c = 0.0417D(a+1)$. Considere que la dosis para un adulto es 200 mg. Indique cuál es la pendiente y explique qué representa. 7. Definir $f \circ g$. 8. Definir función inversa y ejemplificar. Explicar cómo se relacionan la gráfica de una función y la de su inversa. 9. Demostrar la fórmula de cambio de base para el logaritmo. 10. Función $\arccos$. Explicar, graficar. 11. Demostrar que la derivada de la función constante es la función constante cero. 12. Demostrar que si $f(x) = x^n$ entonces $f'(x) = nx^{n-1}$ para todo $n$ natural mayor que 1. 13. Enunciar y demostrar la regla para la derivada de la suma de dos funciones. 14. Enunciar y demostrar la regla para la derivada del producto de dos funciones. 15. Definir el número $e$. 16. Calcular $\lim_{x\to 1}\frac{x^{1000}-1}{x-1}$. 17. Definir función continua en un punto y función continua en un intervalo cerrado. ¿Puede ser $f$ discontinua en $a$ y continua en $[a,b]$? Explique los distintos tipos de discontinuidad. 18. Enunciar el Teorema: Carácter Local del Límite. 19. Enunciar el Teorema: Conservación del Signo para funciones continuas. 20. Enunciar el Teorema de la Compresión. 21. Enunciar y demostrar la propiedad sobre la continuidad en un número $a$ del cociente de dos funciones continuas en $a$. 22. Enunciar el teorema sobre el límite para la composición de funciones. 23. Enunciar y demostrar el teorema sobre continuidad para la composición de funciones. 24. Enunciar el Teorema del Valor Intermedio. 25. Enunciar el Teorema de Bolzano. 26. Enunciar el Teorema de Conservación del Signo para funciones continuas. (Incluye respuesta: "Si $f$ es continua en un número $c$, entonces existe un $\delta > 0$ tal que para todo $x \in (c-\delta, c+\delta)$, $f(x)$ tiene el mismo signo que $f(c)$", con la indicación de hacer dos dibujitos, uno para $f(c)>0$ y otro para $f(c)<0$, y observar que si $f$ no es continua en $c$ esto no necesariamente vale.) 27. Definir $\lim_{x\to a} f(x) = L$. 28. Definir $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$. 29. Si $f(x) = x^3+1$, determinar un número $\delta$ tal que si $0 < |x-1| < \delta$ entonces $|f(x)-2| < 0.1$. (Hacer dibujo.) 30. Si $g(x) = \sqrt{x}$, determinar un número $\delta$ tal que si $0 < |x-9| < \delta$ entonces $|f(x)-3| < 0.01$. (Hacer dibujo.) 31. Si $h(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$, determinar un número $\delta$ tal que si $0 < |x-1| < \delta$ entonces $|h(x)-2| < 0.01$. (Hacer dibujo.) 32. Enunciar el teorema que justifica: si $\lim_{x\to 3} h(x) = 7$ entonces $\lim_{x\to 3} e^{h(x)} = e^7$. 33. Definir asíntota horizontal. 34. Definir asíntota vertical. 35. El número de bacterias después de $t$ horas en un experimento de laboratorio controlado es $n = f(t)$. ¿Cuál es el significado de $f'(5)$ y qué unidades tiene? 36. Probar que la derivada de la función seno es la función coseno. 37. Probar que la derivada de la función coseno es la función seno. 38. Enunciar la Regla de la Cadena. 39. Dar la ley para $f'$ si $f(x) = x|x|$. 40. Probar que si $f$ es derivable en un número entonces es continua en dicho número. 41. Deducir la derivada de la función $\arccos$. 42. Deducir la derivada de la función $\arcsen$. 43. Deducir la derivada de la función $\arctan$. 44. Deducir la derivada de la función $f(x) = a^x$. 45. Deducir la derivada de la función $f(x) = \ln|x|$. 46. Desarrollar Aproximación Lineal y Diferencial de una función. 47. Enunciar y probar la fórmula para la derivada de la inversa de una función. 48. Probar que $\senh(2x) = 2\senh(x)\cosh(x)$. 49. Enunciar el Teorema del Valor Extremo. 50. Enunciar y demostrar el Teorema de Fermat. 51. Explicar el método del intervalo cerrado para hallar extremos absolutos. 52. Enunciar y demostrar el Teorema de Rolle. 53. Enunciar y demostrar el Teorema del Valor Medio. 54. Probar que si $f'(x) = 0$ en $(a,b)$ entonces $f$ es constante en $(a,b)$. 55. Probar que si $f'(x) = g'(x)$ en $(a,b)$ entonces existe un número $c$ tal que $f(x) - g(x) = c$. 56. Probar que si $f'(x) > 0$ en $(a,b)$ entonces $f$ es creciente en $(a,b)$. 57. Probar que si $f'(x) < 0$ en $(a,b)$ entonces $f$ es decreciente en $(a,b)$. 58. Definir punto de inflexión. 59. Enunciar la prueba de la segunda derivada. 60. Probar la fórmula de integración por partes. ## Verdadero o falso (justificar la respuesta) 1. Toda función creciente en su dominio es inyectiva. 2. Toda función inyectiva es monótona. 3. La función $f(x) = \frac{x^3}{x^2-5}+1$ es impar. 4. La función $f(x) = \frac{x^3}{x^2+7x}+1$ es impar. 5. $e^{\ln x} = x$ para todo $x \in \mathbb{R}$. 6. Toda función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ admite inversa. 7. Dada la ley de función inyectiva $f$ siempre es posible despejar $x$ de $y = f(x)$ para obtener la ley de su inversa. 8. El dominio de $f(x) = \ln(x^2-1)$ es $D_f = \mathbb{R}^+$. 9. $\arccos(\cos(2\pi)) = 2\pi$. 10. Si $0 < a < b$ entonces $\ln a < \ln b$. 11. La función $f(x) = 1/(x-1)$ es inyectiva. 12. La función $f(x) = 1/(x-1)$ es decreciente en su dominio. 13. La función $f(x) = 1/(1-x)$ es creciente en $(-\infty, 1)$. 14. Si $z > 0$ entonces $4\ln z = (\ln z)^4$. 15. Si $f(x) = 1 + 3x + \ln x$ entonces $f^{-1}(4) = 1$. 16. La función $f(x) = \cos(1/x)$ tiene una discontinuidad evitable en $x = 0$. 17. La función $f(x) = \sen(1/x)$ tiene asíntota vertical en $x = 0$. 18. La función $f(x) = x\sen(1/x)$ tiene una discontinuidad evitable en $x = 0$. 19. Si no existe $\lim_{x\to a} f(x)$ entonces tampoco existe $\lim_{x\to a} (f-g)(x)$. 20. Si $x = 2$ es asíntota vertical para la gráfica $y = f(x)$ entonces $2 \notin D_f$. 21. Si $y = 2$ es asíntota horizontal para la gráfica $y = f(x)$ entonces $2 \notin \operatorname{Im} f$. 22. Si $f(1) = 3$ y $f(4) = 0$ entonces existe $c \in [1,4]$ tal que $f(c) = 1.5$. 23. Si $f$ es continua en $[1,5]$ y la única solución de $f(x) = 6$ son $x = 1$ y $x = 4$ y además $f(2) = 8$, entonces $f(3) > 6$. 24. La ecuación $x^{10} - 10x^2 + 5 = 0$ tiene una raíz en $(0,2)$. 25. Las gráficas de las funciones tienen como máximo una asíntota horizontal. 26. Si $\lim_{x\to 3} F(x) = 1$ entonces $F(3) = 1$. 27. Si $\lim_{x\to 0} |g(x)| = 1$ entonces $\lim_{x\to 0} g(x) = 1$. 28. La ecuación $x^{10} - 10x^2 + 5 = 0$ tiene una raíz en el intervalo $(0,2)$. 29. $\lim_{x\to-\infty} \frac{\sqrt{2x^2+1}}{3x-5} = -1$. 30. $\lim_{x\to\infty} \frac{x+2}{\sqrt{9x^2+1}} = 0$. 31. $\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[4]{16+h}-2}{h} = 0$. 32. Si $f$ es continua en un número entonces es derivable en dicho número. 33. Mostrar gráficamente y explicar tres motivos por los cuales una función no es derivable en un punto. 34. Probar que la función $f$ es derivable en 0 si $f(x) = x^2\sen(\pi/x)$ si $x \neq 0$ y $f(0) = 0$. 35. Si $F(x) = h(g(x))$ y $h(-1) = 9$, $h'(-1) = 5$, $h'(6) = 4$, $g(6) = -1$ y $g'(6) = 7$ entonces $F'(6) = 63$. 36. $\frac{1+\tanh x}{1-\tanh x} = e^{2x}$. 37. El conjunto imagen de $g(x) = 1 + \cosh(x)$ es $[1,\infty)$. 38. El dominio de la función $h(x) = (x^2-1)^x$ es $(0,\infty)$. 39. Si una función tiene máximo y mínimo absoluto entonces es continua y su dominio es un intervalo cerrado. 40. Si una función tiene máximo y mínimo absoluto entonces es continua. 41. Una función siempre tiene máximo absoluto sobre un intervalo cerrado. 42. Si $f'(x) = 0$ para todo $x \in \mathbb{R} - \{0\}$ entonces existe un número $c$ tal que $f(x) = c$ para todo $x \in \mathbb{R} - \{0\}$. 43. En un punto crítico de una función la derivada cambia de signo. 44. Si $f''(3) = 0$ entonces en $(3, f(3))$ hay un punto de inflexión para la gráfica de la función. ## Verdadero o falso (segunda serie, justificar la respuesta) 1. La función $g$ es continua en $x = 0$, donde $g(x) = x^4\sin(\pi/x)$ si $x < 0$ y $g(x) = 0$ si $x \geq 0$. 2. La función $g$ es derivable en $x = 0$, con la misma definición del punto anterior. 3. $\senh(2x) = 2\senh(x)\cosh(x)$. 4. Si $h(x) = (\ln x)^x$ entonces $D_h = \mathbb{R}$. 5. $\lim_{x\to 4}\left(\frac{2x}{x-4} - \frac{8}{x-4}\right) = \lim_{x\to 4}\frac{2x}{x-4} - \lim_{x\to 4}\frac{8}{x-4}$. 6. $\frac{d}{dx} f(\sqrt{x}) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{x}}$. 7. $\frac{d}{dx}\left(x^2 + 2^x + \pi^2\right) = 2x + 2^x\ln 2 + 2\pi$. 8. Si $g = f^{-1}$ y $f(x) = 7x^5 + 8e^x + \senh(x) + 1$ entonces $g'(9) = 1$.