Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura

Análisis Matemático I — Cátedra de la profesora Ferrero

Primer Parcial — Límites y continuidad — 14/04/2026

Apellido y nombres: ________________________ Padrón: ______________________

Duración: 2 horas. Se aprueba con 4 (cuatro) puntos sobre 10. Justifique todos los pasos.

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Ejercicio 1 (2,5 puntos)

Calcule, si existen, los siguientes límites. En cada caso indique qué propiedades del álgebra de límites utiliza.

(a) Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

(b) Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$.

(c) Calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x + 1}{5x^2 + 2x}$.

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Ejercicio 2 (2,5 puntos)

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ si $x \neq 2$, y $f(2) = k$. Determine todos los valores de $k$ para los cuales $f$ resulta continua en todo $\mathbb{R}$. Justifique usando la definición de continuidad en un punto.

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Ejercicio 3 (2,5 puntos)

Calcule por definición, usando el cociente incremental, la derivada de $f(x) = \dfrac{1}{x + 1}$ en $x = 1$. Indique luego el dominio de la función derivada $f'$.

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Ejercicio 4 (2,5 puntos)

Sea $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en el intervalo $[-2, 2]$. (a) Verifique que $f$ cumple las hipótesis del teorema de Weierstrass. (b) Halle los extremos absolutos de $f$ en $[-2, 2]$ y los puntos en los que se alcanzan.