Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura

Departamento de Matemática — Escuela de Ciencias Exactas y Naturales

Álgebra Lineal — LCC, LSI, PM — 2024

Primera Evaluación Parcial — 22/04/2024

Apellido y nombres: ________________________ Carrera: ________________________

Duración: 2 horas. Se aprueba con 60 puntos sobre 100. Todos los ítems requieren justificación.

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Ejercicio 1 (40 puntos)

Sean $\mathbf{u} = (1, 4, -3)$, $\mathbf{v} = (5, -2, 1)$ y $T: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^4$ la función definida por

$T(ax^2 + bx + c) = (a - c,\ 2a + b,\ a + b + c,\ b - c).$

(a) Pruebe que $V = \{p \in \mathbb{R}_2[x] : p(1) = 0\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}_2[x]$, con la suma y el producto por escalar usuales de polinomios.

(b) Dé una base $\mathcal{B}$ de $V$ y su dimensión. Justifique su respuesta.

(c) Pruebe que $T$ es una transformación lineal.

(d) Calcule $\ker T$ e $\operatorname{Im} T$. Determine si $T$ es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo. Justifique su respuesta.

(e) Halle la matriz asociada a $T$ respecto de la base $\mathcal{B}$ de $V$ y la base canónica de $\mathbb{R}^4$.

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Ejercicio 2 (35 puntos)

Sea la base $\mathcal{B}^* = \{v_1, v_2, v_3\}$ de $\mathbb{R}^3$, donde $v_1 = (1, 1, 1)$, $v_2 = (1, 1, 0)$ y $v_3 = (1, 0, 1)$. Considere la función $(\cdot, \cdot): \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ definida, para $x = (x_1, x_2, x_3)$ e $y = (y_1, y_2, y_3)$, por

$(x, y) = x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + 2 x_2 y_2 + 3 x_3 y_3.$

(a) Pruebe que $(\cdot, \cdot)$ define un producto interno en $\mathbb{R}^3$ y halle la matriz $G$ del producto interno en la base canónica.

(b) Pruebe que el conjunto $\mathcal{S} = \{w_1, w_2, w_3\}$, con $w_1 = (1, 0, 0)$, $w_2 = (1, -1, 0)$ y $w_3 = (0, 0, 1)$, es una base ortogonal de $\mathbb{R}^3$ respecto del producto interno $(\cdot, \cdot)$.

(c) Calcule la proyección ortogonal del vector $v = (2, 3, 1)$ sobre $\mathcal{S}$.

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Ejercicio 3 (25 puntos)

Justifique las siguientes afirmaciones o dé un contraejemplo. En todos los casos, justifique su respuesta.

(a) Si $U$ y $W$ son subespacios de $\mathbb{R}^4$ con $\dim U = 2$ y $\dim W = 3$, entonces $U + W = \mathbb{R}^4$.

(b) Toda matriz cuadrada con determinante distinto de cero es diagonalizable.

(c) Los autovalores de una matriz triangular son las entradas de su diagonal principal.