“Pruebe que $V = \{p \in \mathbb{R}_2[x] : p(1) = 0\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}_2[x]$, con la suma y el producto por escalar usuales de polinomios.”
Lo resolví por definición: cerradura por suma y por escalar, con p(1) = 0 lineal en los coeficientes.
Subespacio — en Álgebra Lineal y sus Aplicaciones
“Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades: H contiene al vector cero de V; H es cerrado bajo sumas de vectores; H es cerrado bajo múltiplos escalares de vectores.”
La definición pide contener al cero y ser cerrado por suma y por escalar; con p(1) = 0 las dos cerraduras salen porque la condición es lineal en los coeficientes.
El conjunto Span{v1,…,vp} es un subespacio — en Álgebra Lineal y sus Aplicaciones
“Si v1,…,vp están en un espacio vectorial V, entonces Span{v1,…,vp} es un subespacio de V.”
Otra vía: V = Span{(x² - x), (x - 1)} y el Teorema 1.5.1 garantiza que todo conjunto generado es subespacio.
La forma rápida de verlo: con es la condición , lineal en los coeficientes. Cerradura por suma y por escalar salen solas. Para la base tomá y : ambos cumplen y son linealmente independientes, así que .
Ahh, mucho mejor pensarlo como núcleo de la evaluación . Como es lineal y sobreyectiva, . Confirmado con tu base.
Ojo para el parcial: si piden subespacio por definición no alcanza con decir que es un núcleo. Escribí las dos verificaciones: si , entonces , y . Treinta segundos que valen puntos.
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